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Primzahlensatz: Der Satz »Es gibt unendlich viele Primzahlen«.
     Dieser Satz wurde zuerst formuliert und bewiesen von Euklid (~ 300 v.u.Z.) (IX. Buch von Euklids Elementen §20) und geht mutmaßlich auf die Phytagoräer zurück.
Beweis des ~es (Die Art der Beweisführung ist ein Widerspruchsbeweis):

Angenommen es gibt eine größte Primzahl p, so konstruiere man eine Zahl q aus dem Produkt aller

Primzahlen + 1.
q = (2·3· · ·p) + 1
Falls q eine Primzahl ist, gibt es einen Widerspruch zur Annahme; ist hingegen q teilbar, so kann sie nicht durch eine Primzahl kleiner als p geteilt werden, da immer der Rest 1 bleibt.
Da aber jede teilbare Zahl das Produkt von Primzahlen ist, muß q durch eine Primzahl größer als p geteilt werden. Dies ist ebenso im Widerspruch zur Annahme, also kann diese nicht gelten. Es gibt keine größte Primzahl; daher gibt es unendlich viele.


 
 
 

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